《老子到此一游系列》之 老子带你看懂这些风景—— 多维探秘通用无损压缩 第六章 连续小波变换（转发）
第六章 连续小波变换
6.1 概述
连续小波变换（CWT）通常被用于信号分析，即科学研究类。小波变换现在被大量不同的应用领域采纳，有时甚至会取代了傅里叶变换的位置，在许多领域都有这样的转变。例如很多物理学的领域亦经历了这个转变，包括分子动力学，从头计算（ab initio calculations），天文物理学，密度矩阵局部化，地球物理学，光学，湍流，和量子力学。其他经历了这种变化的学科有图像处理，血压，心率和心电图分析，DNA分析，蛋白质分析，气象学，通用信号处理，语言识别，计算机图形学，和多分形分析。
小波分析的产生是由于，最初用于处理信息的技术，FT傅里叶变换，仅可在忽略时频分量的情况下进行，但是相对于实际应用情形，绝大多数信息的时频分量是一个不可忽视的因素，为此对FT进行一定程度的优化，得到STFT即短时傅里叶变换。短时距傅立叶变换是傅立叶变换的一种变形用于决定随时间变化的信号局部部分的正弦频率和相位。实际上，计算短时距傅立叶变换(STFT)的过程是将长时间信号分成数个较短的等长信号，然后再分别计算每个较短段的傅立叶转换。通常拿来描绘频域与时域上的变化，为时频分析中其中一个重要的工具。但是在实际应用的过程中我们又遇见了新的问题，人们无法知道信号的确切时频表示，即人们无法获知在何种时间实例中存在何种频谱分量。人们可知晓的是某些频段存在的时间间隔，（其根源可以追溯到海森堡不确定性原理，但在这里我们不做详细论述。）这是一个分辨率问题。
6.2 例证
我们使用的窗口函数只是一个高斯函数，形式为：
e^{-a \left（ \frac{t^2}{2} \right）}
其中 a 确定窗口的长度，t 是时间。下图显示了由 a 的值确定的不同支持区域的四个窗口函数。请忽略 a 的数值，因为计算此函数的时间间隔也决定了函数。只需记下每个窗口的长度即可。上面给出的示例是使用第二个值 a = 0.001 计算得出的。现在，我们将显示上面给出的与其他窗口计算的相同信号的STFT。
首先，让我们看一下第一个最窄的窗口。我们预计STFT具有非常好的时间分辨率，但频率分辨率相对较差：
下图显示了此 STFT。该图从顶部鸟瞰图显示，并带有一个角度，以便更好地解释。请注意，这四个峰值在时间上彼此之间有很好的分离。另请注意，在频域中，每个峰值都覆盖一个频率范围，而不是单个频率值。现在，让我们将窗口变宽，并查看第三个窗口（第二个窗口已在第一个示例中显示）。
请注意，与之前的情况不同，峰值在时间上彼此之间没有很好的分离，但是，在频域中，分辨率会进一步提升，我们进一步增加窗口的宽度。左图就明显的体现出了当窗口过宽时分辨率比较差。
鉴于上述问题CWT（连续小波变换）应运而生。
6.3 STFT与CWT之间的两个主要区别
- 不采用窗口信号的傅里叶变换，因此将看到对应于正弦的单个峰值，即不计算负频率。
- 当为每个光谱分量计算变换时，窗口的宽度会发生变化，这可能是小波变换最重要的特征。
公式表达：
CWT_x^\psi(\tau,s) = \Psi_x^\psi(\tau,s) = \frac{1}{\sqrt{|s|}} \int x(t) \psi^* \left( \frac{t – \tau}{s} \right) dt
如上面的等式所示，变换后的信号是两个变量的函数，tau 和 s，分别是平移和标度参数。\psi（t） 是变换函数，称为母小波，母小波是用于生成其他窗口函数的原型。
如图所示，信号由 30 Hz、20 Hz、10 Hz 和 5 Hz 的四个频率分量组成。
请注意，轴是平移和缩放，而不是时间和频率。然而，平移与时间严格相关，因为它指示母小波的位置。母小波的平移可以被认为是自 t = 0 以来经过的时间。
较小的刻度对应于较高的频率，即频率随着刻度的增加而降低，因此，比例约为零的图形部分实际上对应于分析中的最高频率，而具有高尺度的标度对应于最低频率。
信号首先具有 30 Hz（最高频率）分量，这在 0 到 30 的转换时以最低刻度显示。然后是20 Hz分量，第二高频率，依此类推。5 Hz 分量出现在平移轴的末端（如预期的那样），并按预期再次以较高的比例（较低频率）显示。
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第七章：OpenHarmony内核子系统之文件系统和压缩器
参考文献
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https://go-compression.github.io/
[8] Wavelet Tutorial – Part 1
https://users.rowan.edu/~polikar/WTpart1.html
[9] Wavlet Tutorial – Part 2
https://users.rowan.edu/~polikar/WTpart2.html
[10] Wavelet Tutorial – Part 3
https://users.rowan.edu/~polikar/WTpart3.html
缩略语列表
| 缩写 | 英文 | 中文 |
| ANS | Asymmetric numeral systems | 非对称数字系统 |
| BSLDCA | The Block Sorting Lossless Data Compression Algorithm | 块排序无损数据压缩算法 |
| BTW | Burrows–Wheeler Transform | Burrows–Wheeler转换 |
| BWCA | Burrows-Wheeler Compression Algorithm | Burrows-Wheeler压缩算法 |
| CTW | Context Tree Weighting | 上下文树加权 |
| CWT | Continue Wavelet Transform | 连续小波变换 |
| DMC | Dynamic Markov Coding | 动态马可夫压缩 |
| DWT | Discrete Wavelet Transform | 离散小波变换 |
| EC | Entropy Coder | 熵编码器 |
| MCO | Multi-Criteria Optimisation | 多标准优化 |
| MTF | Move To Front Transform | 前移变换 |
| PPM | Prediction by Partial Matching | 通过部分匹配进行预测 |
| RLE-0 | Zero Run Length Encoding | 零游程编码 |
| STFT | Short-time Fourier transform | 短时傅里叶变换 |
ELT.ZIP是谁？
ELT<=>Elite(精英)，.ZIP为压缩格式，ELT.ZIP即压缩精英。
成员：
上海工程技术大学大二在校生 闫旭
合肥师范学院大二在校生 楚一凡
清华大学大二在校生 赵宏博
成都信息工程大学大一在校生 高云帆
黑龙江大学大一在校生 高鸿萱
山东大学大三在校生 张智腾
ELT.ZIP是来自6个地方的同学，在OpenHarmony成长计划啃论文俱乐部里，与来自华为、软通动力、润和软件、拓维信息、深开鸿等公司的高手一起，学习、研究、切磋操作系统技术…
写在最后：
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